Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Analyse Détaillée

1. Introduction

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) est un résultat fondamental en analyse réelle. Il établit une propriété essentielle des fonctions continues sur un intervalle fermé de ℝ. Ce théorème a des applications importantes dans la résolution d'équations, l'étude des fonctions, et sert de base à de nombreux autres théorèmes en analyse mathématique.

2. Énoncé du Théorème

Formulation mathématique :

$\mathrm{\forall }y\in [min(f(a),f(b)),max(f(a),f(b))],\mathrm{\exists }c\in [a,b]:f(c)=y$

Remarque importante : Le théorème ne spécifie pas l'unicité de $c$. Il peut exister plusieurs valeurs de $c$ satisfaisant la condition.

3. Interprétation Graphique

Graphiquement, le TVI affirme que le graphe d'une fonction continue ne peut pas "sauter" par-dessus une valeur sans la traverser.

Dans ce graphique interactif, on peut observer que pour toute valeur $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un point $c$ où la fonction atteint cette valeur.

4. Corollaires Importants

4.1 Corollaire pour les fonctions strictement monotones

Démonstration : L'existence est garantie par le TVI. L'unicité découle de la stricte monotonie de $f$.

4.2 Corollaire pour les fonctions de signes opposés aux bornes

Démonstration : Comme $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, 0 est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Le TVI garantit alors l'existence d'un $c$ tel que $f(c)=0$.

5. Applications du TVI

• Résolution d'équations : Le TVI permet de prouver l'existence de solutions pour des équations du type $f(x)=0$ sur un intervalle donné.
• Méthode de la bissection : Cette méthode numérique pour trouver les zéros d'une fonction est basée sur le TVI.
• Théorème de Bolzano : C'est une application directe du Corollaire 2 du TVI.
• Théorème des accroissements finis : La preuve de ce théorème utilise le TVI.

6. Exemple Détaillé

Problème : Montrer qu'il existe une solution à l'équation $x^3-x-1=0$ dans l'intervalle $[1,2]$.

Solution :

1. Posons $f(x)=x^3-x-1$.
2. Calculons $f(1)$ et $f(2)$ :
   • $f(1)=1^3-1-1=-1$
   • $f(2)=2^3-2-1=5$
3. On constate que $f(1)<0$ et $f(2)>0$.
4. $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.
5. Par le TVI, il existe $c\in [1,2]$ tel que $f(c)=0$.

Conclusion : L'équation $x^3-x-1=0$ a au moins une solution dans l'intervalle $[1,2]$.

7. Limitations et Extensions

• Le TVI ne s'applique qu'aux fonctions continues sur un intervalle fermé.
• Il ne donne pas d'information sur le nombre exact de solutions ou leur localisation précise.
• Extensions :
  • Le théorème de la valeur intermédiaire généralisé pour les fonctions à valeurs vectorielles.
  • Le théorème des valeurs intermédiaires en topologie, utilisant la notion de connexité.

8. Conclusion

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires est un outil fondamental en analyse réelle. Sa compréhension et sa maîtrise sont essentielles pour aborder des concepts plus avancés en mathématiques. Il illustre parfaitement le lien entre l'intuition géométrique et la rigueur analytique, tout en ouvrant la voie à de nombreuses applications pratiques et théoriques.

9. Exercices Proposés

1. Montrer que l'équation $\cos (x)=x$ a au moins une solution dans l'intervalle $[0,1]$.
2. Prouver que toute fonction polynomiale de degré impair a au moins une racine réelle.
3. Utiliser le TVI pour montrer que $\sqrt{2}$ existe dans $\mathbb{R}$.